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一元二次方程求根公式推导过程(一元二次方程求根公式推导过程初二)

时间:2024/1/14 3:46:35 编辑:福途教育 标签:高考

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    一元二次方程求根公式推导过程(一元二次方程求根公式推导过程初二)

    一元二次方程求根公式推导过程

    一元二次方程:

    ax2 + bx + c = 0

    (1) 求a ≠ 0时的根:

    根据公式:

    x1 = [-b + √(b2 - 4ac)] / 2a

    x2 = [-b - √(b2 - 4ac)] / 2a

    公式推导过程:

    令a ≠ 0, b, c 为实数

    证明: ax2 + bx + c = 0时,有x1,x2满足ax12 + bx1 + c = 0 和 ax22 + bx2 + c = 0,

    且x1 ≠ x2

    充分性:

    x1 = [-b + √(b2 - 4ac)] / 2a

    x2 = [-b - √(b2 - 4ac)] / 2a

    设x1 = p,x2 = q,

    则有ax12 + bx1 + c = a(p2) + bp + c = 0,

    ax22 + bx2 + c = a(q2) + bq + c = 0

    而x1 ≠ x2,即p ≠ q,所以有

    b2 - 4ac ≠ 0

    所以,x1,x2满足ax12 + bx1 + c = 0 和 ax22 + bx2 + c = 0,

    且x1 ≠ x2

    必要性:

    若有x1,x2满足ax12 + bx1 + c = 0 和 ax22 + bx2 + c = 0,

    且x1 ≠ x2,

    则有b2 - 4ac ≠ 0,

    且x1 = p, x2 = q,

    则有p ≠ q,

    则有x1 = [-b + √(b2 - 4ac)] / 2a

    x2 = [-b - √(b2 - 4ac)] / 2a

    即证明: ax2 + bx + c = 0时,有x1,x2满足ax12 + bx1 + c = 0 和 ax22 + bx2 + c = 0,

    且x1 ≠ x2

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