2023内蒙古高考理科数学试卷

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内蒙古高考理科数学试卷

一、选择题（每题 4 分，共 40 分）

1. 已知集合 M={2，4，6，8}，N={x

x + 5 > 10}，则 M∩N= （ ）

A. {2，4，6，8} B. {7，8} C. {2，4，6，7} D. {7}

2. 已知正数 x、y 满足 x2－2x－3y+6=0，则 x+y 的值为（ ）

A. -3 B. 0 C. 5 D. 9

3. 抛物线 y2＝2x 的顶点坐标是（ ）

A.（-2，0） B.（2，0） C.（3，0） D.（-3，0）

4. 下列函数中既是偶函数又是奇函数的是（ ）

A. y=

x

-1 B. y=

x-2

+2 C. y=

x+2

-2 D. y=-

2x-1

5. 已知抛物线 y2＝4x 的准线方程是（ ）

A. y=2x B. y=-2x C. y＝2x+2 D. y＝-2x+2

二、填空题（每题 3 分，共 24 分）

6. 设

x－a

＝

2x－3a

，则 x 等于_____________

7.函数 y＝cos(x+/3) 的图象沿 y 轴对称，则的值为_________

8. 已知直线 l1: x+3y-4=0，l2: 2x－y+1=0, 若这两条直线平行，则它们的斜率之积等于_________

9. 设 S 为双曲线 x2/a2－y2/b2=1(a>b>0) 的一个焦点和它的一条直径所围成的四边形的面积，则 S 等于____________

10. 在△ABC 中，BA＝2，AC＝3，角 BAC 所对的边是________

三、解答题（共 46 分）

11. (本小题满分 8 分)

版本一

已知双曲线 C： x2/25-y2/16=1 的一个焦点为 F，过点 F 作射线 l 与双曲线 C 相交于 A、B 两点，点 A 与 F 的距离为 4, 求证：点 B 与 F 的距离为 4

证明：

假设射线 l 为直线 y=kx, 令 l 与双曲线 C 相交于点 A（x1，y1）、B（x2，y2）得

① x12／25＋k2x1＝y12／16－k2y1

② x22／25＋k2x2＝y22／16－k2y2

解得

③ k＝-16y1／25x1

由双曲线 C 的离心率 e=4/5，可得点 F(0，4/5)，令 l 与 x 轴的交点为 O，得

④ OF＝x1＝-16y1／5k

由题意 OF＝4，故

⑤ y1＝2，则 x1＝-8/k

解出 k 代入 ① 可得

⑥ x2＝-8/k

同理，②式中 y2＝2, 存，故

⑦ OF＝x2＝-8/k＝-16/5k＝4

即 证得点 B 与 F 的距离为 4.

综上所述，得证 点 B 与 F 的距离为 4

答案：已证

12.（本小题满分 8 分）

设函数 f（x） 满足 f（x）＜0，f（1）＞-2，f（3）＜1，f（5）＞2，

① 讨论 f（x） 在区间[1，3]中的单调性；

② 求 f（0）、f（2）、f（4）的值

解：①

由 f（1）＞-2，f（3）＜1 可知，函数 f（x）在区间[1, 3] 上是凹函数，

即 f（x）在（1,3）上是递减的， 在[1,3]外的点不能确定，只能得到函数f（x）在[1,3] 上是单调的；

②

f（5）＞2，即 f（x）在 x＞5 时为正数，故 f（0）、f（2）、f（4）的值均为负数，

又由 f（x）＜0 可得其值都小于0，即 f（0）、f（2）、f（4）均小于0，但具体数值未知。

答案：①f（x）在[1，3] 上是单调的;

② f（0）、f（2）、f（4）均小于0.